整除性质应用

整除性质应用就是利用一个数能被另一个数整除的特征（比如末尾数字、数字和等）来判断或求解问题。

- 忘记考虑千位不能为0（最高位不能是0）。 - 同时满足多个条件时，容易遗漏其中一个。 - 比较大小要先确定高位数字尽量大。

进阶难度下，题目会结合两个整除条件，并附加数字规律（如相同数字、和相等），需要分情况讨论并比较结果，考察学生灵活运用整除特征和有序思考的能力。

一个四位数，前两位数字相同，后两位数字也相同，并且它能同时被3和5整除。这样的四位数中最大的是多少？

先根据被5整除确定个位是0或5，再根据被3整除列出数字和的条件，分两种情况找出所有可能的数，最后比较大小选出最大的。

1. 设这个四位数为 a a b b（千位=百位=a，十位=个位=b），a是1~9，b是0~9。 2. 能被5整除：个位b必须是0或5。 3. 能被3整除：各位数字之和= a + a + b + b = 2a + 2b 必须能被3整除。 4. 先考虑b=0： - 数字和 = 2a + 0 = 2a，要能被3整除。 - a从1到9中，2a是3的倍数，即a是3的倍数：a=3,6,9。 - 得到的数：3300、6600、9900。 - 其中最大的是9900。 5. 再考虑b=5： - 数字和 = 2a + 10，要能被3整除。 - 即2a+10是3的倍数，2a+10除以3余数等于2a+1除以3（因为10除以3余1），所以2a+1能被3整除。 - a从1到9，试算：a=1时2×1+1=3✔；a=4时9✔；a=7时15✔。 - 得到的数：1155、4455、7755。 - 其中最大的是7755。 6. 比较两种情况的最大数：9900 > 7755，所以最大的是9900。

9900

遇到“同时被几个数整除”，先分别用整除特征列出条件，再分情况讨论。当数字中有未知数时，用字母表示，列出方程或不等式，最后比较结果。注意最高位不能是0，以及所有可能都要考虑到。