路线计数
组合 · 枚举计数
📘 知识点简介
知识点定义
路线计数是指在给定的网格或地图中，从起点到终点只能沿规定方向行走（比如只能向右和向下），数出一共有多少种不同的走法。
核心解题思路
- 先看清行走方向限制（通常只能向右和向下）。
- 可以用“标数法”：从起点开始，把到达每个格点的路线数依次标出来，每个点的数字等于它左边和上边两个点的数字之和。
- 也可以用“枚举法”：把所有的路径按顺序写出来，一个一个数。
- 如果有障碍点，先算出总路线数，再减去经过障碍点的路线数；或者直接跳过障碍点重新标数。
方法总结/常用公式
无固定公式，掌握“标数法”和“枚举法”即可。
易错点提醒
- 容易漏掉或重复数路径，特别是走回头路或走斜方向，必须严格按规则走。
- 标数时忘记起点标1，或者把障碍点也标了数。
- 用减法时，经过障碍点的路线数要计算准确，不能多减。
本难度考察特点
竞赛难度下，路线计数常加入“禁止经过某点”或“必须经过某点”的条件，需要学生先理解整体路径的构成，再分类讨论或排除，锻炼有序思考和分类枚举的能力。
📘 例题解析
例题题目
下图是一个2×2的方格（共3×3个交点），A在左上角，B在右下角，C是中间的交点（如下图所示）。小明从A走到B，每次只能向右或向下走一格，且不能经过C点。请问：共有多少条不同的路线？
（提示：所有路线都是最短路线，不能绕路）
解题思路
先列出所有从A到B的最短路线（共6条），再找出其中经过C点的路线并排除，剩下的就是答案。也可以直接用标数法，但需注意C点不能走，所以标到C时标0。
解题步骤
第一步：明确行走规则。从A出发，要到达B，必须向右走2步，向下走2步，一共4步。不同的顺序就得到不同路线。
第二步：把所有可能的顺序写出来（用R表示向右，D表示向下）：
1. R R D D
2. R D R D
3. R D D R
4. D R R D
5. D R D R
6. D D R R
共6条路线。
第三步：找出哪些路线会经过C点。C点位于A向右1步、向下1步的位置。所以路线在前两步中刚好走了1个R和1个D（顺序不限），就会在第2步结束时到达C。
检查上面6条：
- R R D D：前两步是R、R，没有向下，不经过C。
- R D R D：前两步R、D，经过C。
- R D D R：前两步R、D，经过C。
- D R R D：前两步D、R，经过C。
- D R D R：前两步D、R，经过C。
- D D R R：前两步D、D，没有向右，不经过C。
所以经过C的路线有4条。
第四步：不经过C的路线 = 总路线 - 经过C的路线 = 6 - 4 = 2条。
本题答案
2条
方法总结
遇到“不能经过某点”的路线问题，可以先列出所有可能，再排除掉经过该点的路线。注意：经过某点的路线数可以用“从起点到该点”的路线数 × “从该点到终点”的路线数来计算，适用于更复杂的网格。
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