完全平方数

一个整数如果是另一个整数的平方，就叫做完全平方数，比如4=2×2，9=3×3，16=4×4。

- 完全平方数的末位数字只能是0、1、4、5、6、9。 - 奇数完全平方数除以8余1，偶数完全平方数是4的倍数。 - 完全平方数的质因数分解中，每个质因数的指数都是偶数。 - 如果一个数乘以一个质数后成为完全平方数，那么原数必须包含这个质数的奇数次方，可以配成偶数。

无固定公式，掌握思路即可。常用方法是：设未知数，利用因数分解和奇偶性列方程求解。

- 忽略0也是完全平方数（0=0²），但小学通常考虑正整数。 - 忘记检查平方根是否为整数。 - 在分析因数时，漏掉质因数的指数奇偶性要求。

竞赛难度下，题目常将完全平方数与数位、因数分解、方程求解结合，需要灵活运用“aabb”形数的分解技巧，以及通过平方差公式或配凑法找到唯一解。

有一个四位数，它的前两位数字相同，后两位数字也相同，并且它是一个完全平方数。请问这个四位数是多少？

先把这个四位数写成 aabb 的形式，把它分解成 11×(100a+b)。因为它是完全平方数，而11是质数，所以100a+b必须能被11整除且结果是11的倍数。再通过位值原理和完全平方数的性质，找出满足条件的a和b。

1. 设这个四位数的千位和百位都是a（a是1～9的数字），十位和个位都是b（b是0～9的数字），那么这个数可以写成：1000a+100a+10b+b = 1100a+11b = 11×(100a+b)。 2. 因为11是质数，而整个数是一个完全平方数，所以11×(100a+b) 必须能写成某个整数的平方。那么 100a+b 必须含有因数11（否则11的指数是1，不是偶数），即 100a+b 是11的倍数。 3. 100a+b = 99a + (a+b)，因为99a是11的倍数，所以100a+b能被11整除的条件是 (a+b) 能被11整除。a和b都是0～9的数字，且a≥1，所以a+b=0或11。a+b=0不可能（a≥1），所以 a+b=11。 4. 因此 b=11-a，代入原数：11×(100a+11-a) = 11×(99a+11) = 11×11×(9a+1) = 121×(9a+1)。 5. 121=11²，所以要求 9a+1 也是一个完全平方数（这样整个数才是(11√(9a+1))²）。 6. 尝试a从1到9： a=1：9×1+1=10，不是平方数； a=2：19，不是； a=3：28，不是； a=4：37，不是； a=5：46，不是； a=6：55，不是； a=7：64=8²，是平方数； a=8：73，不是； a=9：82，不是。 7. 只有a=7满足，此时b=11-7=4。 8. 所以这个四位数是 7744。验证：7744=88×88，确实是完全平方数。

7744

当遇到“aabb”形完全平方数时，先提取公因数11，然后利用11的整除性确定a+b=11，再将原数化为121×(9a+1)，最后让9a+1是完全平方数。这种方法适用于所有类似形式的数。