进制转换初步

进制是一种计数规则，表示“满几进一”，比如十进制是满十进一，二进制是满二进一，三进制是满三进一。

- 第一，理解位值原理：每个数位上的数字代表该位上的“值”要乘以相应的权重（例如三进制从右往左分别是1倍、3倍、9倍……）。 - 第二，熟练掌握“除基取余法”：把一个十进制数连续除以目标进制的基数，倒序取余数。 - 第三，熟练掌握“按权展开法”：把一个非十进制数按位值写成乘法，再相加，转化为十进制数。 - 第四，注意不同进制下允许使用的数字范围：n进制中，最大数字为n-1。

无固定公式，掌握思路即可。

- 易错1：记错基数权重，比如三进制从右向左权重是1、3、9、27，而不是1、2、4。 - 易错2：在“除基取余”时，忘记倒序排列余数。 - 易错3：混淆不同进制下的数字范围，比如三进制里不能出现数字3。

竞赛难度的“进制转换初步”，不再只考简单的十进制与n进制互化，而是结合推理、代数思想，给出不同进制下的表示关系，需要学生利用位值原理列方程，通过试数或整数分析求解。强调逻辑推理能力与逆向思维。

有一个自然数，它在三进制下表示为“abc”（a、b、c均为数字，a不为0），在四进制下表示为“cba”（c不为0）。请问这个自然数是多少？

本题的核心思路是“翻译成方程”。分别用位值原理写出三进制数和四进制数对应十进制值的表达式，令两者相等，得到一个含有a、b、c的整数方程。然后根据三进制数字范围（0~2）和四进制数字范围（0~3），以及a、c不能为0，求解该方程得到唯一解。

第一步：写出三进制数“abc”对应的十进制值。 三进制从右到左的权重分别是1、3、9。 所以“abc”表示的数字 = a×9 + b×3 + c×1 = 9a + 3b + c。 第二步：写出四进制数“cba”对应的十进制值。 四进制从右到左的权重分别是1、4、16。 所以“cba”表示的数字 = c×16 + b×4 + a×1 = 16c + 4b + a。 第三步：因为它们是同一个自然数，所以两个十进制值相等： 9a + 3b + c = 16c + 4b + a。 第四步：整理方程。 将等式右边的项都移到左边： 9a + 3b + c — 16c — 4b — a = 0 (9a — a) + (3b — 4b) + (c — 16c) = 0 8a — b — 15c = 0 得到：8a — b — 15c = 0，即 8a = b + 15c。 第五步：确定a、b、c的取值范围。 因为是一个三进制数，a、b、c只能是0、1或2。且a（最高位）不能为0，c（四进制最高位）也不能为0。所以： a ∈ {1, 2}；b ∈ {0, 1, 2}；c ∈ {1, 2}。 第六步：代入枚举求解。 将c的可能值代入 8a = b + 15c 中试验。 先试c = 1： 8a = b + 15。 a最大为2，8×2=16，b最大为2。如果a=2，则16 = b + 15，得b=1，在范围内。所以 a=2，b=1，c=1 是一组解。 如果a=1，则8 = b+15，得b = -7，不可能。所以c=1只有一组解。 再试c = 2： 8a = b + 30。 如果a=2，则16 = b+30，得b= -14，不可能。 如果a=1，则8 = b+30，得b= -22，不可能。 所以c=2无解。 第七步：验证解。 a=2, b=1, c=1。 三进制数：211（三进制），转换为十进制：2×9 + 1×3 + 1 = 18+3+1 = 22。 四进制数：112（四进制），转换为十进制：1×16 + 1×4 + 2 = 16+4+2 = 22。 完全正确。

22

看到不同进制表示同一个数时，用“位值原理”分别写出十进制表达式并构建方程，再结合数字范围（n进制下每位最大为n-1）进行从高位到低位的枚举，是解决此类竞赛题的核心方法。