余数定理

余数定理是指在整数除法中，被除数 = 除数 × 商 + 余数，并且两个数相加、相减、相乘之后的余数，等于它们各自的余数先做对应运算，再除以除数取余数。

- 先分别求出每个部分除以除数的余数。 - 利用“和的余数等于余数的和再取模”“积的余数等于余数的积再取模”进行计算。 - 当出现大指数时，先找底数除以除数的余数循环周期，再根据指数定位余数。

- (a + b) ÷ m 的余数 = [ (a ÷ m 的余数) + (b ÷ m 的余数) ] 再除以 m 的余数。 - (a × b) ÷ m 的余数 = [ (a ÷ m 的余数) × (b ÷ m 的余数) ] 再除以 m 的余数。 - 对于 aⁿ ÷ m，先找出 a 除以 m 的余数 r，再找 r 的幂模 m 的周期，用指数除以周期得到余数。

- 计算和或积的余数后，结果如果大于等于除数，必须再取一次余数。 - 找周期时，注意当余数出现 1 时周期结束，但也要包括前面所有余数。 - 指数很大时，不要直接计算幂，一定要用周期性简化。

竞赛级别题目通常含有大指数、多步运算，或者多个条件组合，需要灵活运用余数的可加性、可乘性以及周期性，考察学生观察规律和简化计算的综合能力。

计算 (2²⁰²³ + 3²⁰²⁴) 除以 7 的余数是多少？

先分别找出 2 的幂和 3 的幂除以 7 的余数周期，通过指数除以周期得到每个部分的余数，再相加并取模。

第1步：求 2²⁰²³ 除以 7 的余数。 - 分别计算 2 的几次幂除以 7 的余数： 2¹ ÷ 7 余 2 2² ÷ 7 余 4 2³ = 8 ÷ 7 余 1 2⁴ = 16 ÷ 7 余 2 → 余数出现重复，周期为 3。 - 用指数 2023 除以周期 3：2023 ÷ 3 = 674 余 1。 - 余 1 对应周期中的第 1 个余数，即 2。 所以 2²⁰²³ ÷ 7 的余数是 2。 第2步：求 3²⁰²⁴ 除以 7 的余数。 - 计算 3 的幂除以 7 的余数： 3¹ ÷ 7 余 3 3² = 9 ÷ 7 余 2 3³ = 27 ÷ 7 余 6 3⁴ = 81 ÷ 7 余 4 3⁵ = 243 ÷ 7 余 5 （因为 7×34=238，243-238=5） 3⁶ = 729 ÷ 7 余 1 （7×104=728），周期为 6。 - 用指数 2024 除以周期 6：2024 ÷ 6 = 337 余 2。 - 余 2 对应周期中的第 2 个余数，即 2。 所以 3²⁰²⁴ ÷ 7 的余数是 2。 第3步：求和的余数。 - 2²⁰²³ 的余数是 2，3²⁰²⁴ 的余数是 2，和为 2 + 2 = 4。 - 4 小于除数 7，所以最终余数就是 4。

4

当遇到大指数求余数时，先找出底数模除数的余数循环周期，再把指数除以周期，用余数定位，最后利用余数的可加性（或可乘性）得到整体余数。这种方法可以快速处理看似复杂的幂运算。