蝴蝶模型初步

在梯形中，两条对角线把梯形分成四个小三角形，像一只蝴蝶。其中，左右两个小三角形的面积乘积等于上下两个小三角形的面积乘积。

- 先找出梯形中的蝴蝶模型（两条对角线交点）。 - 标出四个小三角形，通常记作S1（上）、S2（左）、S3（下）、S4（右）。 - 根据蝴蝶定理：S1 × S3 ＝ S2 × S4。 - 如果知道其中三个面积，就能求出第四个。 - 有时还需要利用梯形上下底平行得到高相等，用比例求面积。

梯形蝴蝶模型公式：S上 × S下 ＝ S左 × S右

- 容易混淆哪两个三角形相乘相等，记住是“对角相乘相等”。 - 不要忘记梯形必须有一组对边平行，否则蝴蝶定理不成立。 - 计算时要仔细，避免乘除法算错。

竞赛题中，蝴蝶模型常与比例、方程结合，需要先设未知数，再用乘积相等列方程求解。有时会隐藏部分面积，需要利用线段比或等高模型配合。

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O。已知△AOD的面积为3平方厘米，△BOC的面积为12平方厘米，求△AOB的面积。 （图形说明：梯形上底AD比下底BC短，O是内部交点，四个三角形分别标注面积，其中S△AOD=3，S△BOC=12，需要求△AOB的面积。）

先根据蝴蝶模型公式S△AOD × S△BOC ＝ S△AOB × S△COD，设S△AOB为x，则S△COD也为x吗？不是，左右两个三角形面积不一定相等。但我们可以利用上下底平行产生的等高关系：△AOB和△COD等高吗？实际上，在梯形中，左三角形△AOB和右三角形△COD的面积不一定相等。但是还有一个重要性质：S△AOB ＝ S△COD（因为同底等高？不对，需要证明）。实际上，对于梯形，因为AD∥BC，所以△ABD和△ACD同底等高（底为AD，高为梯形高），但它们的面积相等，都等于S△AOD+S△AOB和S△AOD+S△COD，所以S△AOB＝S△COD。因此左右两个三角形面积相等。这就是蝴蝶模型在梯形中的一个重要推论：左右两个三角形面积相等。所以我们可以设S△AOB＝S△COD＝x，然后利用蝴蝶模型乘积相等：3×12＝x×x，解得x＝6平方厘米。

第一步：因为AD∥BC，所以△ABD和△ACD有共同的底AD，并且它们的高都是梯形的高（从B、C分别向AD作垂线，高相等），所以△ABD的面积＝△ACD的面积。 第二步：△ABD由△AOD和△AOB组成，△ACD由△AOD和△COD组成。所以S△AOB＝S△COD。设这个面积为x。 第三步：蝴蝶模型公式：S△AOD × S△BOC ＝ S△AOB × S△COD。 代入已知：3 × 12 ＝ x × x 即 36 ＝ x² 所以 x ＝ 6（因为面积是正数，取正根）。 第四步：因此△AOB的面积为6平方厘米。

6平方厘米

遇到梯形蝴蝶模型，先利用上下底平行得到左右两个三角形面积相等，再套用交叉相乘公式列方程，轻松求解。记住两个关键：左右相等，对角乘积相等。