多次往返相遇问题

多次往返相遇问题是指两人分别从两地同时出发，在两地之间来回运动，多次迎面相遇的问题。

- 第一次迎面相遇，两人合走的路程正好是一个全程（两地距离）。 - 从第一次迎面相遇开始，以后每多一次迎面相遇，两人合走的路程就增加两个全程。 - 所以，第 n 次迎面相遇时，两人合走的总路程是 (2n - 1) 个全程。 - 利用两人速度比，可以求出相遇点距离出发点的位置。

第 n 次迎面相遇，两人总路程 = (2n - 1) × 两地距离 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和

- 容易误以为每次相遇合走的路程都是一个全程，其实是第一次一个全程，之后每次增加两个全程。 - 容易混淆迎面相遇和追及相遇，本专题专指迎面相遇。 - 计算第几次相遇的位置时，要注意通过总路程除以单程距离，看余数来判断位置。

拔高难度下，题目会涉及多次相遇的计算，需要学生熟练掌握“第 n 次相遇总路程为 (2n-1) 个全程”这一核心规律，并能结合速度比推断相遇位置。题型比较灵活，需要细心分析，容易出错。

甲、乙两人分别从相距300米的A、B两地同时出发，相向而行，在A、B之间不断往返运动。甲的速度是每分钟60米，乙的速度是每分钟40米。请问：他们第5次迎面相遇的地点距离A地多少米？

本题是典型的多次往返迎面相遇问题。先算出第5次迎面相遇时两人合走的总路程，再求出总时间，然后算出甲走的路程，最后用甲的路程除以AB距离，看余数来确定距离A地的位置。

1. 第一步：计算第一次迎面相遇的时间。 第一次迎面相遇，两人合走300米。 速度和 = 60 + 40 = 100（米/分） 第一次相遇时间 = 300 ÷ 100 = 3（分钟） 2. 第二步：计算每多一次迎面相遇，需要增加多少时间。 从第一次相遇后，每多一次迎面相遇，需要多走两个全程，即 300 × 2 = 600 米。 多走的600米需要的时间 = 600 ÷ 100 = 6（分钟） 3. 第三步：计算第5次迎面相遇的总时间。 第5次相遇，比第1次相遇多了 5 - 1 = 4 次。 总时间 = 第一次相遇时间 + 4 × 6分钟 = 3 + 24 = 27（分钟） 4. 第四步：计算第5次相遇时，甲一共走的路程。 甲的速度是60米/分，总时间27分钟。 甲的路程 = 60 × 27 = 1620（米） 5. 第五步：判断甲的位置距离A地多少米。 A、B两地相距300米，从A出发，走一个来回是600米。 1620 ÷ 300 = 5（个全程）…… 120（米） 因为走了5个全程（即5个300米），整除的部分是1500米，剩下120米。 意味着甲从A出发，先走到B，再返回A，这样来回5次后，又走了120米，方向是朝B地。 所以，距离A地是 120 米。

120米

解决多次往返迎面相遇问题，核心是记住“第 n 次迎面相遇总路程 = (2n-1) × 全程”，由此算出总时间，再算出其中一人走的总路程，最后利用除法求余数来确定具体位置。关键是不要把第一次相遇和后面的相遇搞混。