条件转化盈亏

把已知的“分东西”条件进行转化，变成标准盈亏问题的形式来解题。

- 第一步：弄清楚分的是什么东西，按照什么标准分。 - 第二步：把题目中“有余”和“不够”的条件，统一成“多几个”和“少几个”的标准表达。 - 第三步：用总差除以每份差，求出人数或份数。

（有余数 + 不足数）÷ 每人分得的差 = 人数 （大盈 - 小盈）÷ 每人分得的差 = 人数 （大亏 - 小亏）÷ 每人分得的差 = 人数

- 注意“多出来”和“少几个”不能直接相减，要看清谁是总数。 - 转化条件时，要把“东西总数”看成固定的，不能漏掉。 - 分步计算时，先算总差，再算人数。

题目常用“同样多的钱”或者“同样的物品”来设定，需要先把条件转化成标准盈亏形式，再套用公式，考察学生转化条件的能力和细心程度。

李老师用同样多的钱买笔和本子。如果买笔，可以买20支，还多8元；如果买本子，可以买15本，还差12元。请问每支笔和每个本子各多少元？

这道题是“条件转化盈亏”问题。同样多的钱，买笔剩余8元，买本子缺12元。我们先求出总钱数差，再算每份差，最后求出每样东西的单价。

1. 把李老师的钱数设为“标准”。买20支笔多8元，说明笔的总价比钱数少8元。 2. 买15本本子差12元，说明本子的总价比钱数多12元。 3. 比较两种花法：买本子比买笔多花了 8 + 12 = 20 元。 4. 本子比笔多买了 15 - 20 ？不对，本子买了15本，笔买了20支，数量不一样。这里比较的是“单价差”引起的总价变化。 5. 同样的钱，买笔和买本子，总价相差 8 + 12 = 20 元。 6. 本子买了15本，笔买了20支，相差 20 - 15 = 5 个物品。 7. 这20元总价差，是因为本子比笔多买了5个（其实是本子数量少，但总价高，所以单价贵）。实际上，买本子比买笔多了5件（从数量上看，本子比笔少5个，但这里“件数差”是 20 - 15 = 5 ？等一下）。 8. 仔细想：买20支笔多8元，买15本本子差12元。如果我们让笔和本子数量相同，比如都买20支笔，就不转化了。这里用“假设法”更好。 9. 我们假设买20支笔，钱多8元；买15本本子，钱差12元。那么买20支笔和买15本本子相差20元。 10. 这20元是 20支笔总价 和 15本本子总价 的差。但笔和本子数量不同，不能直接比单价。 11. 换个思路：把条件转化为“每个本子比每支笔贵多少”。设每支笔x元，则总钱数为20x+8，买15本本子需要15y，钱少12元，所以15y - 12 = 20x+8，那么15y - 20x = 20。同时，钱数固定，所以20x+8 = 15y-12，得到15y - 20x = 20。这个式子告诉我们，15本本子比20支笔贵20元。所以，每本本子比每支笔贵 20 ÷ (20-15)？不对，20是总价差，数量差是5，所以每本本子比每支笔贵 20 ÷ 5 = 4元。 12. 再想：总钱数固定，买20支笔多8元，如果买20本本子（和笔数量相同），会多花20×4=80元，但实际钱只多8元？不对。 13. 一步到位：设每支笔a元，则钱=20a+8。设每本本子b元，则钱=15b-12。所以20a+8 = 15b-12，移项得 15b - 20a = 20。两边同除以5得 3b - 4a = 4。这个方程很多解，但我们需要整数解且合理。假设a=1，则b=8/3不行。a=4，则12-16=-4不行。a=2，则3b-8=4，3b=12，b=4。所以每支笔2元，每本本子4元。验证：20支笔40元，多8元，钱48元。15本本子60元，差12元，钱48元。正确。 14. 所以笔2元，本子4元。

每支笔2元，每个本子4元。

条件转化盈亏题的关键，是把表面不同的情境转成“同一笔总钱数”或“同一批物品”的比较，再找出差量关系。