质数合数综合应用

质数是只有1和它本身两个因数的自然数（如2、3、5、7），合数是有三个及以上因数的自然数（如4、6、8、9），1既不是质数也不是合数。

- 牢记100以内的质数表，尤其注意2是唯一的偶数质数。 - 遇到多个质数相加或相乘时，先利用奇偶性：奇数个奇数相加得奇数，偶数个奇数相加得偶数，偶数质数只有2。 - 分解质因数是重要工具，把条件中的数字写成质因数乘积，再进行推理。 - 善于用“和”“积”等条件列出等式，并对质数进行枚举或假设。

无固定公式，掌握“奇偶分析”“质因数分解”“枚举验证”即可。

- 容易忘记1不是质数也不是合数。 - 误以为所有奇数都是质数，比如9、15等是合数。 - 忽略2是唯一偶数质数，在求和或积时容易漏掉这个关键点。

拔高难度下，题目会把质数、合数与奇偶性、整除、倍数等条件综合在一起，需要学生灵活运用多种推理方法，不能死记硬背，要能根据和或积的奇偶性快速锁定2这个特殊质数，再通过枚举或因数分解找到答案。

三个不同的质数之和是38，且这三个质数的积是38的倍数。求这三个质数。

先利用“三个质数之和是偶数”推出其中必有一个偶数质数2，再结合“积是38的倍数”把38分解质因数，用整除条件找到另外两个质数。

1. 三个质数之和38是偶数。三个数相加得偶数，有两种可能：三个偶数或两个奇数一个偶数。但质数中只有2是偶数，其他都是奇数，所以只能是两个奇数加一个偶数，这个偶数质数就是2。 2. 设其中一个质数为2，则另外两个质数的和为38－2＝36。 3. 三个质数的积是38的倍数，即2×（另外两个质数的积）能被38整除。38＝2×19，所以2×（另外两个质数的积）÷（2×19）必须是整数，也就是（另外两个质数的积）必须能被19整除。 4. 因为19是质数，所以另外两个质数中必有一个是19。 5. 设其中一个为19，则另一个为36－19＝17。 6. 检查17和19都是质数，且2、17、19互不相同，符合题意。积2×17×19＝646，646÷38＝17，是整数，满足条件。 7. 所以这三个质数是2、17、19。

2、17、19

遇到多个质数相加且和为偶数时，立刻想到2是唯一的偶数质数，先把它找出来。然后利用整除关系，把和的因数分解，把条件转化为“某个质数必须出现在乘积中”，从而快速锁定答案。