公因数公倍数应用

利用最大公因数和最小公倍数解决生活中的实际问题，比如分物品、安排时间、铺地砖等。

- 先读题，判断是“分成同样长”“没有剩余”还是要找“同时发生”“至少”的情况。 - 如果要把东西分完，没有剩余，通常求最大公因数；如果是找下次同时发生的时间或最小数量，通常求最小公倍数。 - 遇到“多几个”或“少几个”时，要想想能不能转化成“正好分完”，比如“多3个”就是“再加2个就正好”，变成求公倍数。

无固定公式，掌握“最大公因数用于等分，最小公倍数用于重合”的思路即可。

- 容易混淆什么时候用最大公因数，什么时候用最小公倍数。 - 遇到“多几个”或“少几个”不会转化，直接列方程出错。 - 计算公倍数或公因数时忘记检查单位是否统一。

拔高题常把“余数”条件藏起来，需要学生通过“补差”把“多几个”变成“缺几个”，再求最小公倍数，考察转化思维和细心验证。

一堆苹果，如果每人分5个，则多3个；如果每人分7个，则多5个；如果每人分9个，则多7个。这堆苹果至少有多少个？

观察三个条件：多3、多5、多7，每次多的数量都比每人分到的数少2（5-3=2，7-5=2，9-7=2）。如果给这堆苹果加上2个，那么就能被5、7、9正好分完。所以苹果数加2就是5、7、9的公倍数，题目问“至少”，就是求最小公倍数，再减去2。

第一步：写出三种分法剩下的数量 分5个剩3个，分7个剩5个，分9个剩7个。 第二步：发现规律 5－3＝2，7－5＝2，9－7＝2。每次剩下的人数都比分的数少2。 第三步：转化条件 假设给这堆苹果再添上2个，那么新苹果数就能被5、7、9整除，没有剩余。 新苹果数＝原苹果数＋2。 第四步：求5、7、9的最小公倍数 5是质数，7是质数，9=3×3。三个数互质（没有公共质因数），所以最小公倍数是5×7×9＝315。 第五步：求原苹果数 原苹果数＝315－2＝313。 第六步：验证 313÷5＝62（组）……3（个），符合。 313÷7＝44（组）……5（个），符合。 313÷9＝34（组）……7（个），符合。

这堆苹果至少有313个。

遇到“分完还剩几个”的问题，如果每次剩的数目都比分的人数少相同的数，就可以先给总数加上这个相同的数，变成整除问题，再求最小公倍数减去加上的数。这是一种常用的“补差法”。