倒推法解题

一个书架有上、中、下三层，共有48本书。先从上层的书架上取出与中层同样多的书放到中层；然后从中层取出与下层同样多的书放到下层；最后从下层取出与上层同样多的书放到上层。这时三层书架上的书数量相等。问原来上、中、下层各有多少本书？

从最后一次操作结果“三层各有16本”开始，一步步倒推回去。每一步的逆操作：把拿走的书还回去（即从得到书的层里减掉，还给原来的层）。注意每次逆推时，要抓住“取出与某层同样多的书”这个条件，还原成上一步的数量。

第一步：先确定最后三层的数量 因为三层共48本，最后相等，所以每层48÷3＝16本。 最后状态：上层16本，中层16本，下层16本。 第二步：还原第三次操作前（即第二次操作后）的数量 第三次操作：从下层取出与上层同样多的书放到上层。 设第三次操作前，上层有a本，下层有b本，中层不变还是16本。 操作后：上层变成a＋b（因为从下层拿了b本给上层），下层变成b－b＝0？不对！注意：下层取出的数量等于此时上层的本数a，所以下层取出a本给上层。 操作后：上层＝a＋a＝2a，下层＝b－a。 已知操作后上层＝16，下层＝16，所以： 2a＝16 → a＝8 b－a＝16 → b－8＝16 → b＝24 所以第三次操作前（即第二次操作后）：上层8本，中层16本，下层24本。 第三步：还原第二次操作前（即第一次操作后）的数量 第二次操作：从中层取出与下层同样多的书放到下层。 此时下层有24本，中层有16本。注意：第二次操作是“从中层取出与下层同样多的书放到下层”，也就是中层取出的数量等于此时下层有多少本。设第二次操作前，中层有x本，下层有y本，上层不变还是8本。 操作后：中层变成x－24（因为拿走了24本给下层），下层变成y＋24。 已知操作后中层＝16，下层＝24，所以： x－24＝16 → x＝40 y＋24＝24 → y＝0 所以第二次操作前（即第一次操作后）：上层8本，中层40本，下层0本。 第四步：还原第一次操作前（即最初）的数量 第一次操作：从上层取出与中层同样多的书放到中层。 此时上层有8本，中层有40本，下层0本。第一次操作是“从上层取出与中层同样多的书放到中层”，即上层取出的数量等于此时中层有多少本。设第一次操作前，上层有m本，中层有n本，下层不变还是0本。 操作后：上层变成m－40，中层变成n＋40。 已知操作后上层＝8，中层＝40，所以： m－40＝8 → m＝48 n＋40＝40 → n＝0 所以最初：上层48本，中层0本，下层0本。 但注意：总书48本，这样分配不合理？实际上第一次操作前确实是上层48，中层0，下层0，然后第一次取出与中层同样多（0本）放到中层，所以没变化。然后第二次从中层（40）取出与下层（0）同样多（0）放到下层，也没变化？不对，我们上面第三步算出的第二次操作前，中层是40，下层是0，那么第二次操作时，下层是0本，所以中层取出0本给下层，没变化，那么第二次操作后中层还是40？但步骤中我们假设第二次操作后下层是24？这里出现了矛盾！我们重新检查。 问题出在第三步：第二次操作前，我们设的下层y，但根据第三步的已知条件，第二次操作后下层是24本。第二次操作是“从中层取出与下层同样多的书放到下层”。这个“下层同样多的书”是指操作前下层的数量，而不是操作后。我们在第三步中错用了操作后的下层24作为取出量。正确应该是：第二次操作时，下层当时的数量（即操作前下层）是多少，中层就取出那么多给下层。而我们在第三步中，假设第二次操作前下层有y本，操作后下层变成y＋（中层取出的数量），而中层取出的数量等于操作前下层数量y。所以操作后下层＝y＋y＝2y。已知操作后下层＝24，所以2y＝24，y＝12。同样，操作后中层＝x－y（因为拿走了y本），已知操作后中层＝16，所以x－12＝16，x＝28。这样才是对的。 重新完整做一遍。 **正确分步解答：** 第一步：最后每层16本。 第二步：逆推第三次操作（从下层取与上层同样多放到上层）。 设第三次操作前上层有A，下层有B，中层不变16。 第三次操作：取出B？注意：取出的是“与上层同样多”，即取出数量等于操作前上层数量A。所以下层取出A本给上层。 操作后：上层＝A＋A＝2A，下层＝B－A。 已知最后上层＝16，下层＝16，所以： 2A＝16 → A＝8 B－A＝16 → B－8＝16 → B＝24 第三次操作前：上层8，中层16，下层24。 第三步：逆推第二次操作（从中层取与下层同样多放到下层）。 第二次操作前（即第一次操作后）的状态：设上层C，中层D，下层E。注意第三次操作前是第二次操作后，所以第二次操作后是：上层8，中层16，下层24。 第二次操作：从中层取出与下层同样多的书放到下层。设第二次操作前下层有F本，那么中层取出F本给下层。 操作后：中层＝D－F，下层＝E＋F。 已知操作后中层＝16，下层＝24，且操作后上层不变仍为C＝8。 所以：D－F＝16，E＋F＝24。 另外，第二次操作前下层E就是F本身（因为下层在操作前就是F），所以E＝F。 则方程组： D－F＝16 F＋F＝24 → 2F＝24 → F＝12 代入得 D－12＝16 → D＝28 所以第二次操作前（即第一次操作后）：上层C＝8，中层D＝28，下层E＝12。 第四步：逆推第一次操作（从上层取与中层同样多放到中层）。 第一次操作前是最初状态：设上层G，中层H，下层I。 第一次操作：从上层取出与中层同样多的书放到中层。设第一次操作前中层有J本，那么上层取出J本给中层。 操作后：上层＝G－J，中层＝H＋J。 已知第一次操作后（即第二次操作前）上层＝8，中层＝28，下层＝12（下层没变化，所以下层I＝12）。 所以：G－J＝8，H＋J＝28。 且第一次操作前中层H就是J本身，所以H＝J。 则：G－J＝8，J＋J＝28 → 2J＝28 → J＝14 代入得 G－14＝8 → G＝22 所以最初：上层22本，中层14本，下层12本。 验证总数：22+14+12=48，符合。再按正序操作一遍： 第一次：上层取出与中层相同数14本给中层，上层剩22-14=8，中层变成14+14=28，下层12。 第二次：中层取出与下层相同数12本给下层，中层剩28-12=16，下层变成12+12=24，上层8。 第三次：下层取出与上层相同数8本给上层，下层剩24-8=16，上层变成8+8=16，中层16。最后每层16，正确。

原来上层有22本，中层有14本，下层有12本。

解这类多次转移书（或物品）的倒推问题时，关键是从最后结果出发，每次逆推时，一定要找准“取出的是哪一层当前的数量”，然后根据操作规则列出等式，一次一次还原。建议用表格列出每一步前后的数量变化，避免混淆。