裂项求和 (1/n (n+k))

裂项求和是一种分数巧算方法，把一个分数拆成两个分数相减，再通过加减抵消快速求和。本知识点专门研究形如 1/[n×(n+k)] 的分数求和，其中 n 和 k 都是正整数。

- 首先，把每个分数 1/[n×(n+k)] 拆成 (1/k) × [1/n − 1/(n+k)]。 - 然后，把所有拆分后的式子写出来，观察中间项，它们会全部抵消。 - 最后，只需要计算剩下的第一项和最后一项，再乘以 1/k。

- 漏掉系数 1/k：很多人忘记乘这个分数，导致结果错误。 - 项数数错：需要先找出数列共有多少项，再用公式。 - 符号混乱：拆开后是减号，中间抵消时要注意正负。

竞赛级题目中，分母的 k 往往不是 1，需要先找公差；同时数列首项可能不从 1 开始，要正确计算项数；有时还会结合分数加减、找规律等综合技巧。

计算：

每个分数的分母是两个数相乘，差都是 3（因为 5−2=3，8−5=3，…），所以 k=3。用裂项公式拆分后，中间项全部抵消，只留下第一项和最后一项。

1. 观察分母：第一个是 2×5，第二个是 5×8，第三个是 8×11，……最后一个 98×101。 相邻分母的第一个数相差 3，第二个数也相差 3，所以 k = 3。 2. 写出裂项公式： 3. 将每一项都按这个公式展开： - 第一项：$\frac{1}{2\times 5}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)$ - 第二项：$\frac{1}{5\times 8}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{8}\right)$ - 第三项：$\frac{1}{8\times 11}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{11}\right)$ - …… - 最后一项：$\frac{1}{98\times 101}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{98}-\frac{1}{101}\right)$ 4. 把所有式子加起来，提取公因数 $\frac{1}{3}$： 5. 看括号里面的加减，中间的 $\frac{1}{5}$、$\frac{1}{8}$、……、$\frac{1}{98}$ 都出现两次，一正一负正好抵消，剩下： 6. 计算差值： 7. 再乘以 $\frac{1}{3}$： （99和606同时除以3，得到33/202）

遇到分母差为固定数 k 的分数连加，先统一写成 $\frac{1}{n(n+k)}$ 的形式，然后套用裂项公式，写出展开式并抵消，最后计算首尾差乘以 $\frac{1}{k}$。注意项数不用单独数，因为抵消后自然只剩两项。