裂项相消进阶

计算：

分母是三个连续自然数相乘，用公式 $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$ 把每一项拆开，再求和相消。

1. 先写出通项：第 n 项（n从1到10）为 $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$。 2. 用公式裂项： 3. 将每一项都这样拆开，原式等于 4. 把公因数 $\frac{1}{2}$ 提到外面： 5. 观察括号内，除了第一项 $\frac{1}{1\times 2}$ 和最后一项 $-\frac{1}{11\times 12}$，中间的全都互相抵消。 6. 所以结果为： 7. 通分计算： 8. 检查是否能约分：65与264互质，所以最终答案就是 $\frac{65}{264}$。

遇到分母为三个连续整数乘积的求和问题，直接套用裂项公式，提取系数 $\frac{1}{2}$，展开后中间项全部抵消，只计算首尾两项即可。记住“首项前半减末项后半”的套路。