最值问题

最值问题就是在一定条件下，通过分析和计算，找到某个数量可能达到的最大值或最小值。

- 第一步：仔细理解题目中的所有条件，弄清楚要我们找的是最大还是最小。 - 第二步：尝试用“枚举法”把所有可能的情况都列出来，或者用“调整法”逐步调整数字。 - 第三步：把所有可能的结果算出，通过比较找出最大或最小。 - 第四步：检查答案是否符合题目所有条件。

无固定公式，掌握“枚举法”和“调整法”即可。

- 容易漏掉可能的组合，考虑不全面。 - 忘记验证答案是否符合所有限制条件。 - 计算乘积或和时粗心导致错误。

在竞赛难度下，最值问题会结合多种条件，例如数字不能重复、位置选择等。需要学生全面分析、巧妙枚举，思维要灵活，往往没有固定套路，考察的是综合分析和有序思考能力。

有数字1、3、5、7、9五个数字卡片各一张。用它们组成两个两位数（数字不能重复使用），求这两个两位数乘积的最大值是多少？

要使乘积最大，两个两位数要尽可能“接近”且尽量大。可以先把数字按从大到小排列，然后尝试不同的分法，计算乘积，比较出最大值。

1. 五个数字从大到小排列：9、7、5、3、1。 2. 组成两个两位数，且数字不重复。两个数的十位要尽量大，可以选9和7做十位数。 3. 尝试第一种分法：十位是9和7，剩下的个位从大到小分配，既要使两个数接近，又要使乘积大。 - 方案一：93 和 75。计算：93 × 75 = 6975。 - 方案二：91 和 73。计算：91 × 73 = 6643。 - 方案三：95 和 71。计算：95 × 71 = 6745。 - 方案四：97 和 53。计算：97 × 53 = 5141。 （此处可继续列举，但为了简洁，先选接近的） 4. 我们需要两个数尽量接近，差越小乘积越大。考虑十位9和7，另外两个数字5、3、1分配个位，要使两个数接近，可以在个位分配上调整。 - 更好的策略：让大一点的数配小一点的个位，使两个数接近。 - 先试：91 和 75？差16。93 和 75？差18。95 和 73？差22。似乎91和75较接近。 - 但还有更好的可能：十位可以是9和7，个位组合为91和75（差16），乘积91×75=6825？等一下，上面计算93×75=6975更大。 - 再试：十位9和7，个位分配，使两数更接近：93和75差18，91和75差16，93和71差22，95和71差24。从差来看，91和75差最小。 计算91×75 = 6825。 而93×75 = 6975，差虽大但乘积却更大？我们需要验证所有可能。 - 也可以尝试十位用9和5？但是那样就浪费了7这个大数字在个位，不一定好。 - 为了不漏掉，我们可以用枚举法： 可能的十位组合：(9,7)或(9,5)或(7,5)等，但选两个最大的数做十位通常乘积较大。 列出所有以9和7为十位的两位数组合，个位从{5,3,1}中选两个分配给它们（顺序重要）。 ① 95和71 → 6745 ② 95和73 → 6935 ③ 95和75 → 不行，5重复。 ④ 93和71 → 6603 ⑤ 93和75 → 6975 ⑥ 93和75重复 ⑦ 91和73 → 6643 ⑧ 91和75 → 6825 ⑨ 91和73重复 最大的是93×75=6975。 - 再检查十位是9和5的情况：最大可能数字分配为97和51？但97的十位是9，51的十位是5，剩余数字3,1，可得97×53=5141，97×51=4947，93×51=4743，等等，都小于6975。 - 十位是7和5的情况：最大可能79×53=4187，更小。 5. 所以最大乘积是6975。

6975

求解乘积最大问题时，先确定较大数字做高位，然后通过枚举或调整使两个数尽可能接近，差值越小乘积往往越大，但必须通过实际计算验证。